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Reinforced random walk
Gady Kozma
arXiv:1208.0364
いったん通ったパスは，もう一度通る確率が高くなる，というのが
(edge) reinforced random walkである．
いったん通ったパスへの重みの付け方は，1+aで線形につける場合と，1+a^2などで非線形につける場合もある．
線形の場合，グラフが3次元以上だと，aの値で相転移がおきるとのこと．
この線形reinforced random walkはポリアの壷の問題(Polya's urn)とも関連がある．
ポリアさんはユダヤ系ハンガリー人で，丸善で「いかにして問題を解くか」の著者．
ポリアの壷は，赤白２色の玉が入った壷から，1つを取り出し，同色の玉をc個加えて戻す，という試行で，n回目の白の玉が出る確率は？という問題である．直観にはやや反するかもしれないが，これは1回目の試行の時の確率と同じになる．数学的帰納法などで確認できる．
さらにはこのreinforced random walkは，物理の超対称性(supersymmetry) *1などとも関係があり，この話はhyperbolic sigma modelと言われるらしい．
そこに出てくるσは，exp(-βA)の確率分布であたえられるのだが，このβとreinforced random walkのaが等価であるという話に帰着する．σは各粒子のエネルギーみたいなものか?ちょっとよくわからなかった．
この論文はそれらを列挙しながら，最後は「Where now?」でしめる．
どこへ行くかというと，reinforced random walkでaの相転移が起こることが分かった．(a_cがあるはず．)
その先のtransient regime(過渡相)ではどうなるかを理解するのが次のステップとのこと．
よくわからんです．ネットワークは正方格子っぽいし，現実の何を記述するのかがわからんし， 数学の論文は読みにくいです．．．
